Hola
Para que funcionen las cosas debes saber HTML jajaja, me ha traido recuerdos este post porque yo tambien tuve este problema cuando empezaba.
Bueno aqui como se soluciona todo, probado en eclipse 3.3.2, Java6Upadte7, Explorer 6.0.2900 y Firefox 3.0.3
1.-Crea un proyecto java y ponle cualquier nombre, ejemplo: "Applet00".
2.-Dentro del paquete por defect "src" creas un paquete llamado suplementosGUI, pero sin S en mayuscula, si recien empiezas no aprendas malas practicas, los nombres de paquetes deberian tambien empezar en minuscula.
3.-Dentro de ese paquete que empieza sin mayuscula pon tu clase tal como la escribiste llamada "Primer Applet", yo hize un copy-paste de tu mismo codigo y funciono, solo que hay que hacer un cambio aqui jajaja:
g.drawString("El primer applet de Andres y el ultimo si sigo DESESPERANDOME POR TONTERAS!!!", 20, 20);
4.-Pruebas tu applet desde eclipse y funcionara, ahora seleccionas la clase y le daz click derecho > export... > (Java Folder) > JAR file > bastara con seleccionar "Export generated class files and resources" y "Compress the contents of the JAR file", buscas un lugar donde guardar tu jar y le pones un nombre, ejemplo: "MiPrimerAppletJar.jar" > bastara con "Export class files with compile warnings" ya que tu clase tiene un warning de serializacion, pero un warning es una alerta, no un error > bastara con "Generate manifest file" que luego lo veremos dentro del jar y fijate en "Seal some package" seguramente no habra ninguno > FINISH.
Te saldra una ventana que dice que se exporto una clase que tenia un warning, pero eso ya lo sabiamos, click OK. Abre el jar con winrar y veras dos carpetas, la del manifiesto y la del paquete, dentro esta tu clase.
Ahora el html, que para este ejemplo estara en la misma carpeta lado a lado con el jar file:
<html>
<head></head>
<body>
<APPLET id="miApplet" archive="MiPrimerApplet.jar" width="200" heigth="50" code="suplementosGUI.PrimerApplet"/>
</body>
</html>
Tu error estuvo en la propiedad "code", no ruteaste bien, es asi: "paquete.clase" si tu clase esta dentro de varias paquetes, pues a poner todos hasta que llegues jajaja.
Esto lo probe en unos minutos y funciono. Sigue bien las instrucciones con calma, si algo no se entendio lo posteas y se explica mejor.
Saludos desde Peru
Lalo
PS: Alguien ha tenido algun problema con applets con el update 10, yo he tenido problemas con paquetes avanzados como encriptacion y smartcardio, supongo porque mis applets los hize con el jdk1.6.0_07, los problemas los he tenido con Firefox, Chrome, Opera y Safari bajo Windows XP SP2/SP3.
Posiblemente sea un tema con el ruteo del package. Para probar mientras tanto considera que el .jar toma como raíz el lugar donde esta almacenado y de ahí comienza la jerarquía de directorios/paquetes 
